​洪 一平、邹生书——2021年广东四校联考理科第10题的解法再探讨

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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2021年广东四校联考理科第10题

的解法再探讨

浙江省平阳中学       洪一平

湖北省阳新县高级中学       邹生书

解析：先用二元均值不等链判断选项A,B,D的正误。

对于选项D.

若存在a, b,使得直线ax+by=1与圆x²+y²=4相切，

则圆x²+y²=4的圆心到直线ax+by=1的距离等于半径

对于选项C，我们有如下两种思路和相应解法。

思路一：根据多选题的特点，可以直接判断选项C正确。

上面我们用二元均值不等式链判断了选项A,D错误，选项B正确。根据多选题的特点，正确选项至少有两项，故选项C必定正确。于是正确的选项是：B,C.

点评：四项满分5分的多选题，正确选项至少为两项，最多为四项。全部选对得5分，部分选对原来包括2020新高考山东卷为3分，八省联考调整为为2分，这个调整较为合理。正确选项个数设置为两个和三个较为合理，这样每个多选题得分有三个档次：5分，3分和0分。若正确选项设为四个，则得分只有5分和2分两个档次，并且考生只要选填部分项都可以得2分，拉不开分数距离，分不也能力水平思维层次，建议不要设置四项都正确的多选题。在一些大联考中目前还没有见到全部正确的多选题，但在一些测试卷中时有发生，偶然有一道还以理解，若在一份试卷中出多了就不正常了。编者曾经历过四个多选题竟然有两个题目四个选项都正确。

思路二：用数学知识证明选项C是正确的。

对于选项C的判断是本题的一个难点。参考答案和杨志明老师都通过构造函数来进行处理的。下面给出洪一平老师构造函数的另一个新解法，再给出一个似对实错的均值不等式解法和错解分析。

由a>0,b>0,a+b=1,可设a=0.5+x, b=0.5-x, -0.5<x<0.5,

设f(x)=ln(0.5+x)ln(0.5-x), 则f(x)是偶函数,

选项C用构造函数法来处理确实还是有一定难度的，根据选项结构特点，有不少人希望运用均值不等进行处理，似乎看到了胜利的曙光，结果却是以失败而告终。

下面给出一个用均值不等式处理的似对实错的解法，以期前事不忘后事之师。

错解分析：上述解法看是正确，实则错误，这个错解较为隐蔽，其错误在于最后两步。

小结：

用多选题之特点判断选项C正确，是一种智慧；

构造函数判断选项C正确，那是一种能力。

下附参考答案与杨志明老师的解法：

来源：杨志明数学角

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